Números Complexos

1. Definições

Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação

x² + 9 = 0

não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos

x² = -9

x = ±

mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.

Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.

Primeiro, eles definiram um novo número

i =

Isso conduz a i² = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.

Para a equação acima fazemos

x = ±

x = ± .

x = ± 3 i

As raízes da equação x² + 9 = 0 são 3i e - 3i.

Definição

Um número complexo é uma expressão da forma

a + bi

onde a e b são números reais e i² = -1.

No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.

Exemplos

2 + 5i	parte real 2	parte imaginária 5
i	parte real	parte imaginária
12i	parte real 0	parte imaginária 12
-9	parte real -9	parte imaginária 0

Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.

Igualdade de números complexos

Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:

a + bi = c + di se

Exemplos

2 + 5i =

Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.

2. Aritmética dos números complexos

Adição e Subtração

Adição

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Para adicionarmos dois números
complexos, adicionamos as partes
reais e as partes imaginárias

Subtração

(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Para subtrairmos dois números
complexos, subtraímos as partes
reais e as partes imaginárias

Exemplos

(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i

= - 4 + 12i

Na prática, fazemos

(3 + 4i) + (-7 + 8i) =

(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i

= - 9 + 8i

Na prática fazemos

(-5 + 6i)

Multiplicação

(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Multiplicamos números
complexos como multiplicamos
binômios, usando i² = - 1

Exemplos

= 6 – 8i + 9i – 12i²	Distributiva
= 6 + i – 12 . (-1)	-8i + 9i = i e i² = - 1
= 6 + i + 12
= 18 + i

= – 8 – 4i + 4i + 2i²	Distributiva
= – 8 + 2 . (-1)	-4i + 4i = 0 e i² = - 1
= – 8 – 2
= – 10

= – 3i . (4) – 3i . (-2i)

= - 12i + 6i²

= - 12i + 6 . (-1)

= - 6 - 12i

3. O conjugado e a divisão

Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.

Complexos conjugados

O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi.

Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados.

Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.

Exemplos

O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i

O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i

O conjugado de z = 5i é = - 5i

O conjugado de z = 10 é = 10

Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:

z . = (a + bi) . (a – bi)
= a² – abi + abi – b²i²
= a² – b². (-1)	A soma dos quadrados de dois números reais nunca é negativa
= a² + b²

Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.

Dividindo dois números complexos

Para escrevermos o quociente na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo

Vamos escrever o quociente na forma a + bi.

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.

= i

= 1 – i

4. Potências de i

Temos:

i⁰ = 1	i⁴ = i² . i² = (-1) . (-1) = 1
i¹ = i	i⁵ = i⁴ . i = 1 . i = i
i² = -1	i⁶ = i⁴ . i²= 1 . (-1) = -1
i³ = i² . i = -1 . i = -i	i⁷ = i⁴ . i³ = 1 (-i) = -i

Observe que as quatro potências de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo

1, i, -1, -i

repete-se indefinidamente.

Então, para simplificar i^x para x > 4, buscamos o maior múltiplo de 4 contido em x; por exemplo

i²⁶ = i²⁴ . i² = (i⁴)⁶ . i²

= 1⁶ . (-1)

= -1

i⁴³ = i⁴⁰ . i³ = (i⁴)¹⁰ . i³

= i¹⁰ . (-i)

= -i

7. Módulo de número complexo

O módulo (ou valor absoluto) do número complexo a + bi é distância de a + bi à origem do plano complexo. Usando o Teorema de Pitágoras, concluímos que a distância de (a; b) a (0; 0) é .