sábado, 9 de junho de 2012

Polinômios



Os polinômios, a priori, formam um plano conceitual importante na álgebra, entretanto possuem também uma relevante importância na geometria, quando se deseja calcular expressões que envolvem valores desconhecidos.
A definição de polinômio abrange diversas áreas, pois podemos ter polinômios com apenas um termo na expressão algébrica, como por exemplo: 2x, y, 4z, 2, 5, etc. Mas podemos possuir polinômios com uma infinidade de termos. Por exemplo:
P(x)=an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a0
Como podemos notar, polinômios são compostos pelas várias expressões algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números, até as que apresentam diversas letras, potências, coeficientes, entre outros elementos dos polinômios.
Os polinômios se encontram em um âmbito da matemática denominado álgebra, contudo a álgebra correlaciona o uso de letras, representativas de um número qualquer, com operações aritméticas. Portanto, podemos, assim, efetuar as operações aritméticas nos polinômios, que são: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação.
Buscaremos, então, nesta seção, abarcar todas as propriedades dos polinômios, assim como as operações aritméticas desses números.


Polinômio


Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão:

axn  +  axn – 1 +  axn -2  + ... +  an – 1 x + an

A função polinomial será definida por:

P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn -2 + ... + an – 1x + an
Com:
a0 , a1 , a2, … , an – 1 e an são números complexos e n  N. 


• Valor numérico de um polinômio 
Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x.
Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.

P(2) = 5 . 24 – 3 . 23 + 22 – 2 + 2

P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2

P(2) = 80 – 24 + 4

P(2) = 56 + 4

P(2) = 60

Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, quando
x = 2 será P(2) = 60.

• Raiz ou zero do polinômio

Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3 + 5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando
x = b.

Exemplo:

P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:

x2 - 1 = 0
x2 = 1
x = + 1 ou - 1

Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x2 - 1.


• Grau de um polinômio

Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:

• P(x) = x3 - x2 + 2x -3   →   temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x3, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.

P(x) = x3 - x2 + 2x -3 é do 3º grau.

• P(x) = 5x0 = 5 → grau zero.



Adição e Subtração de Polinômios



O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir: 

Adição 

Exemplo 1 

Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6. 

(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal. 

+(–3x2) = –3x2 
+(+8x) = +8x 
+(–6) = –6 

x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes. 

x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6 

–2x2 + 5x – 7 

Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7 


Exemplo 2 

Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: 

(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 

4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes. 

4x2 – 10x + 6x – 5 + 12 

4x2 – 4x + 7 

Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7 

Subtração 

Exemplo 3 

Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8. 

(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 

– (–3x2) = +3x2 
– (+10x) = –10x 
– (–6) = +6 

5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes. 

5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6 

8x2 – 19x – 2 

Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2 


Exemplo 4 
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos: 

(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais. 

2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes. 

2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5 

0x³ – 6x² + x + 16 

– 6x² + x + 16

Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16


Exemplo 5 
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule: 

a) A + B + C 

(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20 
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20 
9x³ + 6x² – 8x + 45 

A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45 

b) A – B – C 

(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20 
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20 
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30 
3x³ + 4x² – 8x – 15 

A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15

Adição, Subtração e Multiplicação de Polinômios


Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de extrema importância a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações aqui apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios.

Adição e Subtração

Considere os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles.

Adição

(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal

–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes

–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência

–3x³ – 2x² + 7x – 3


Subtração

(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal

–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes

–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência

3x³ – 2x² + 3x – 1



Multiplicação de polinômio por monômio

Para entendermos melhor, observe o exemplo:

(3x2) * (5x3 + 8x2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação

15x5 + 24x4 – 3x3


Multiplicação de polinômio por polinômio

Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:

(x – 1) * (x2 + 2x - 6)


x2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)

(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)

x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.

x³ + x² – 8x + 6

Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.

Demonstrações através do cálculo algébrico


No estudo sobre o cálculo algébrico aprendemos a operar polinômios, fazer a sua fatoração e encontrar o seu mmc. E com essas informações é possível fazer algumas demonstrações como:

• A soma de dois números inteiros consecutivos será sempre a diferença de seus quadrados.

Considere x como sendo um número inteiro qualquer, o seu sucessor pode ser representado pelo polinômio x + 1. Somando esses dois polinômios chegaremos à seguinte expressão algébrica:

x + (x + 1) = x + x + 1 = 2x + 1

A diferença dos quadrados desses dois números consecutivos será representada pela seguinte expressão algébrica:

(x +1)2 - x2 = (x2 + 2x + 1) – x2 = x2 + 2x + 1 - x2 = 2x + 1

Comparado as duas expressões algébricas encontradas, podemos confirmar que

x + (x + 1) = (x +1)2 - x2

• A soma de cinco números inteiros consecutivos será sempre múltiplo de 5.

Considere como sendo cinco números inteiros consecutivos os polinômios: x-2 ; x-1 ; x ; x + 1 ; x + 2.
Um número para que seja múltiplo de cinco pode ser escrito da seguinte forma: 5x, onde x é um número inteiro qualquer, ou seja, qualquer número que multiplicado por 5 será múltiplo de cinco.

Somando os cinco números consecutivos teremos:

x - 2 + x - 1 + x + x + 1 + x + 2 = 5x -3 + 3 = 5x, portanto, é verdadeiro dizer que a soma de 5 números inteiros consecutivos terá como resposta um número múltiplo de 5.

• A soma de dois números inteiros ímpares será sempre um número par.

Para que um número seja par é preciso que ele esteja escrito da seguinte forma: 2x, onde x representa um número inteiro qualquer. Dessa forma, um número ímpar seria igual a 2x +1.

Somar dois números ímpares seria o mesmo que:

(2x +1) + (2x + 1) = 2 (2x + 1). A expressão algébrica (2x + 1) terá valor numérico igual a um número inteiro qualquer, quando multiplicado por 2 (2x + 1) irá resultar em um número par.


Divisão de polinômio por polinômio


Em toda divisão temos dividendo, divisor, quociente e resto, como estamos falando de divisão de polinômio por polinômio, teremos:

Para o dividendo um polinômio G(x)
Para o divisor um polinômio D(x)
Para o quociente um polinômio Q(x)Para o resto (podendo ser zero) um polinômio R(x)



Prova real:    

Tem algumas observações a serem feitas, como:

? ao final da divisão o resto sempre tem que ser menor que o divisor: R(x) < D(x).

? quando o resto for igual a zero, a divisão é considerada exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor. R(x) = 0.

Observe a divisão de polinômio por polinômio abaixo, vamos partir de um exemplo, cada passo tomado no desenvolvimento da divisão será explicado.

Dada a divisão
(12x3 + 9 – 4x) : (x + 2x2 + 3)

Antes de começar a operação temos que fazer algumas verificações:
? se todos os polinômios estão em ordem conforme as potências de x.

No caso da nossa divisão devemos ordenar, ficando assim:
(12x3 - 4x 9) : (2x2 + x + 3) 

? observar se no polinômio G(x) não está faltando algum termo, se estiver devemos completar.

No polinômio 12x3 - 4x + 9 está faltando o termo x2, completando ficará assim:
12x3 + 0x2 - 4x + 9

Agora podemos iniciar a divisão:



? G(x) tem 3 termos e D(x) tem 3 termos. Pegamos o 1º termo de G(x) e dividimos pelo 1º termo de D(x): 12x3 : 2x2 = 6x, o resultado multiplicará o polinômio 2x2+ x + 3 e o resultado dessa multiplicação subtrairemos pelo polinômio 12x3 + 0x2 - 4x + 9. Assim teremos:



? R(x) > D(x), podemos dar continuidade à divisão, repetindo o mesmo processo anterior. Achando agora o segundo termo de Q(x).




R(x) < D(x), não damos continuidade a divisão, concluindo que:

O quociente é 6x – 3 e o resto é –19x + 18.


Divisão de polinômios


Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).
Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. Observe o seguinte esquema:
Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório. Observe:

Exemplo 1:
Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado.

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo4x * (3x² + x – 2) + 0
12x³ + 4x² – 8x

Caso isso ocorra, a divisão está correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinômio por polinômio. Veja:

Exemplo 2:
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo(2x – 5) * (5x – 9) + (–5)
10x² – 18x – 25x + 45 + (–5)
10x² – 43x + 45 – 5
10x² – 43x + 40


Observe o exemplo de número 3:
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(3x² + x – 1) * (2x² – 4x + 5) + 0
6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5
6x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5


Exemplo 4:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(4x – 5) * (3x² – x + 2) + (2x + 7)
12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7)
12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7
12x³ – 19x² + 15x – 3

Divisão de Polinômios utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini

Compreendendo um dispositivo que auxilia na divisão de polinômios: o dispositivo de Briot-Ruffini. Esse dispositivo utiliza uma raiz do polinômio e seus coeficientes para calcular a divisão do polinômio pela sua raiz.

Podemos ver no artigo de Divisão de polinômios o método tradicional para a divisão, utilizando o algoritmo da divisão. Entretanto, dois matemáticos (Paolo Ruffini e A. Briot) criaram um dispositivo prático para realizar esta divisão, dispositivo este que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini.
Esse algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x-a). Esse dispositivo usará apenas os coeficientes do polinômio e o termo constante (a).
Chamemos de p(x) o polinômio a ser dividido (dividendo); e h(x) o divisor no qual h(x)=x-a. Com isso, a estrutura do dispositivo é a seguinte:

Para melhor compreendermos como este dispositivo funciona, utilizá-lo-emos em um exemplo, e explicaremos passo a passo seu processo.
Exemplo:
Efetue a divisão de p(x) por h(x), na qual:


Agora multiplique esse termo repetido pelo divisor, o resultado será somado ao próximo termo do dividendo p(x).
 

Repita o processo agora para o novo elemento, multiplique esse número pelo divisor e some-o ao próximo termo.


Obtemos o resto 0 e um quociente da seguinte forma:
Para verificarmos se a divisão foi feita de forma correta, podemos utilizar o algoritmo da divisão que diz o seguinte:
Dessa forma, temos:
Logo, a divisão foi feita corretamente, pois ao verificar os termos da divisão no algoritmo da divisão constatamos que a igualdade é verdadeira.

Equação Polinomial


Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio: 
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos: 

x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0 
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0 
x8 – x6 – 6x + 2 = 0 
x10 – 6x2 + 9 = 0 

As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução. 


Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) 

Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa. 

Exemplo 1 
Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação: 
2x+ kx3 – 5x2 + x – 15 = 0 

Se 2 é raiz da equação, então temos: 

2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0 
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0 
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0 
8k + 34 – 35 = 0 
8k – 1 = 0 
8k = 1
k = 1/8 
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.

Exemplo 2 

Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 = 0. 

Temos que: 

m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0 
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9 
– 19m = –19 
m = 1 

O valor de m é 1. 

Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios


As expressões algébricas fracionárias são aquelas em que o denominador possui letras, isto é, termos variáveis. Veja os exemplos:
No caso dessas frações algébricas, antes de realizarmos a soma devemos aplicar o cálculo do mmc, no intuito de igualar os denominadores, pois sabemos que somente adicionamos frações com denominadores iguais.
Para determinarmos o mmc de polinômios, fatoramos cada polinômio individualmente, e logo em seguida multiplicamos todos os fatores sem repetição dos comuns. A utilização dos casos de fatoração é de extrema importância para a determinação de algumas situações envolvendo mmc. Observe o cálculo do mmc entre polinômios nos exemplos a seguir:


Exemplo 1 

mmc entre 10x e 5x² – 15x

10x = 2 * 5 * x

5x² – 15x = 5x * (x – 3)

mmc = 2 * 5 * x * (x – 3) = 10x * (x – 3) ou 10x² – 30x


Exemplo 2

mmc entre 6x e 2x³ + 10x²

6x = 2 * 3 * x

2x³ + 10x² = 2x² * (x + 5)

mmc = 2 * 3 * x² * (x + 5) = 6x² * (x + 5) ou 6x³ + 30x²


Exemplo 3 
mmc entre x² – 3x + xy – 3y e x² – y²

x² – 3x + xy – 3y = x(x – 3) + y(x – 3) = (x + y) * (x – 3)

x² – y² = (x + y) * (x – y)

mmc = (x – 3) * (x + y) * (x – y)



Exemplo 4 
mmc entre x³ + 8 e do trinômio x² + 4x + 4.


x³ + 8 = (x + 2) * (x² – 2x + 4).

x² + 4x + 4 = (x + 2)²

mmc = (x + 2)² * (x² – 2x + 4)

Multiplicidade de uma raiz


Na resolução da equação do 2º grau x2 – 6x + 9 = 0, encontramos duas raízes iguais a 3. Utilizando o teorema da decomposição, fatoramos o polinômio e obtemos:
x2 – 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)2
Nesse caso, dizemos que 3 é raiz de multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação.
Dessa forma, se um polinômio fatorado resulta a seguinte expressão:

Podemos dizer que:
x = -5 é raiz com multiplicidade 3 ou raiz tripla da equação p(x) = 0
x = -4 é raiz com multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação p(x) = 0
x = 2 é raiz com multiplicidade 1 ou raiz simples da equação p(x) = 0
De maneira geral, dizemos que r é uma raiz de multiplicidade n, com n ≥ 1, da equação p(x) = 0, se:

Observe que p(x) é divisível por (x – r)m e que a condição q(r) ≠ 0 significa que r não é raiz de q(x) e garante que a multiplicidade da raiz r não é maior que m.

Exemplo 1. Resolva a equação x4 – 9x3 + 23x2 – 3x – 36 = 0, sabendo que 3 é raiz dupla.
Solução: considere p(x) como sendo o polinômio dado. Assim:


Note que q(x) é obtido fazendo a divisão de p(x) por (x – 3)2.
Fazendo a divisão pelo dispositivo prático de Briot –Ruffini, obtemos:

Após a realização da divisão, vemos que os coeficientes do polinômio q(x) são 1, -3 e -4. Assim, q(x) = 0 será: x2 – 3x – 4 = 0
Vamos resolver a equação acima para determinarmos as demais raízes.
x2 – 3x – 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 ou x = 4
Portanto, S = {-1, 3, 4}

Exemplo 2. Escreva uma equação algébrica de grau mínimo tal que 2 seja raiz dupla e – 1, raiz simples.
Solução: Temos que:
(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0
Ou 

Teorema de D’Alembert


O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para
x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.


Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.

Exemplo 1
Calcule o resto da divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3).

Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:

P(3) = R
32 + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 – 10 = R
18 – 10 = R
R = 8
Portanto, o resto dessa divisão será 8.

Exemplo 2
Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1.

Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.

P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2
P(1) = 3 – 4
P(1) = – 1

Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.

Exemplo 3
Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio
P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 por x – 2 seja 6.

Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6

P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3
24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8


Exemplo 4
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3 + x2 – 6x + 7 por 2x + 1.

R = P(x) → R = P(– 1/2)

R = 3*(–1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8 


Concurso Professor Substituto Prefeitura de Fortaleza


A Secretaria de Educação de Fortaleza abriu seleção para professores substitutos. Os interessados devem ficam atentos ao edital de convocação e dar início ao processo de inscrição. Os links estão disponíveis abaixo.
A Secretaria de Administração do Município, por intermédio do Instituto Municipal de Pesquisas, Administração e Recursos Humanos (Imparh), estabeleceu normas e divulgou a abertura de inscrições para a realização da Seleção Pública para Formação de Cadastro de Reserva de Professor Substituto, destinada ao atendimento de carências temporárias da Secretaria Municipal de Educação.
O edital n° 28/12 pode ser acessado no link: 
Já o procedimento de inscrição está disponível aqui:
 Com informações da SME

sexta-feira, 1 de junho de 2012

Prova de redação Enem 2012

Entenda como será a correção da redação:



Enem

Faça sua inscrição para o Enem 2012.


segunda-feira, 28 de maio de 2012

segunda-feira, 10 de agosto de 2009

Regra de Sinais e Jogo de Sinais

'A GRANDE DÚVIDA'
"REGRA DE SINAIS X JOGO DE SINAIS"
...ONDE USAMOS ???
* Regra de Sinais = ADIÇÃO ALGÉBRICA
* Jogo de Sinais = MULTIPLICAÇÃO,DIVISÃO E ELIMINAÇÃO DE () [] e {}
REGRA DE SINAIS
SINAIS IGUAIS
SOMAMOS E REPETIMOS O SINAL
SINAIS DIFERENTES
SUBTRAIMOS E REPETIMOS O SINAL DO NÚMERO QUE FOR MAIOR EM MÓDULO



JOGO DE SINAIS
+
+
=
+
+
-
=
-
-
+
=
-
-
-
=
+
OU SEJA:
* SINAIS IGUAIS = RESULTADO POSITIVO
* SINAIS DIFERENTES = RESULTADO NEGATIVO

sexta-feira, 24 de julho de 2009

Raciocínio Lógico Il

01. O economista José Júlio Senna estima que em 1998 o déficit em conta corrente do
país será de US$ 40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à redução das importações,
esse déficit diminuirá em US$ 12 bilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagar US$
29 bilhões em amortizações. Nessas condições, mesmo supondo que entrem US$ 17
bilhões em investimentos diretos e US$ 15 bilhões para financiar as importações, ainda
faltarão para o país equilibrar suas contas uma quantia em dólares igual a
a) 1 bilhão
b) 13 bilhões
c) 25 bilhões
d) 29 bilhões
e) 32 bilhões


02. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. É FALSO
afirmar que pelo menos duas dessas pessoas
a) nasceram num mesmo ano.
b) nasceram num mesmo mês.
c) nasceram num mesmo dia da semana.
d) nasceram numa mesma hora do dia.
e) têm 50 anos de idade.


03. Com 1.260 kg de matéria prima uma fábrica pode produzir 1.200 unidades diárias de
certo artigo durante 7 dias. Nessas condições, com 3.780 kg de matéria prima, por
quantos dias será possível sustentar uma produção de 1.800 unidades diárias desse
artigo?
a) 14
b) 12
c) 10
d) 9
e) 7


04. Alberto recebeu R$ 3.600,00, mas desse dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a
Carlos. Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos e
este deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno. Nessas
condições, Bruno e Carlos devem receber, respectivamente,
a) 1.800 e 720 reais.
b) 1.800 e 360 reais.
c) 1.600 e 400 reais.
d) 1.440 e 720 reais.
e) 1.440 e 288 reais.


05. Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada
cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos
distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é
a) 518.400
b) 1.440
c) 720
d)120
e) 54


06. Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possível obter como resultado quase todos
os números inteiros positivos. Exemplos: 32 = 8 + 8 + 8 + 8; 33 = (5 + 8) + (5 + 5 + 5 + 5).
O maior número que NÃO pode ser obtido dessa maneira é
a) 130
b) 96
c) 29
d) 27
e) 22


07. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar
exatamente 2 caras e 2 coroas?
a) 25%
b) 37,5%
c) 42%
d) 44,5%
e) 50%


08. Numa loja de roupas, um terno tinha um preço tão alto que ninguém se interessava
em comprá-lo. O gerente da loja anunciou um desconto de 10% no preço, mas sem
resultado. Por isso, ofereceu novo desconto de 10%, o que baixou o preço para R$
648,00. O preço inicial desse terno era superior ao preço final em
a) R$ 162,00
b) R$ 152,00
c) R$ 132,45
d) R$ 71,28
e) R$ 64,00


09. Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que
sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de
intérprete. Ambos encontram outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele
fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz - Ele disse que sim, mas ele
pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que
a) Y fala a verdade.
b) a resposta de Y foi NÃO.
c) ambos falam a verdade.
d) ambos mentem.
e) X fala a verdade.


10. Se 1 hectare corresponde à área de um quadrado com 100 m de lado, então
expressando-se a área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados obtém-se
a) 3.600
b0 36
c) 0,36
d) 0,036
e) 0,0036


11. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C.
Segue-se, portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C


12. Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios):
Premissa 1: ''X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P''
Premissa 2: ''X não está contido em P''
Pode-se, então, concluir que, necessariamente
a) Y está contido em Z
b) X está contido em Z
c) Y está contido em Z ou em P
d) X não está contido nem em P nem em Y
e) X não está contido nem em Y e nem em Z


13. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho
não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:
a) jardim é florido e o gato mia
b) jardim é florido e o gato não mia
c) jardim não é florido e o gato mia
d) jardim não é florido e o gato não mia
e) se o passarinho canta, então o gato não mia


14. Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco
suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado,
cada um deles respondeu:
Armando: ''Sou inocente''
Celso: ''Edu é o culpado''
Edu: ''Tarso é o culpado''
Juarez: ''Armando Disse a verdade''
Tarso: ''Celso mentiu''
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a
verdade, pode-se concluir que o culpado é:
a) Armando
b) Celso
c) Edu
d) Juarez
e) Tarso


15. Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado,
na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos
de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a) 2
b) 4
c) 24
d) 48
e) 120


16. De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e
40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um
dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado
em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a) 30/200
b) 130/200
c) 150/200
d) 160/200
e) 190/200


17. Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs:
Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e
mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que
sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e
meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5


18. Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente
da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo


19. Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e
condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é
condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,
a) D ocorre e B não ocorre
b) D não ocorre ou A não ocorre
c) B e A ocorrem
d) nem B nem D ocorrem
e) B não ocorre ou A não ocorre


20. Dizer que ''Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista'' é, do ponto de vista lógico, o
mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista